TRẦN NAM DŨNG (Tổng Chủ biên)
TRẦN ĐỨC HUYÊN – NGUYỄN THÀNH ANH (đồng Chủ biên)
VŨ NHƯ THƯ HƯƠNG – NGÔ HOÀNG LONG
PHẠM HOÀNG QUÂN – PHẠM THỊ THU THUỶ

TOÁN

12
8

TẬP MỘT

HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH

Mỗi bài học trong sách Toán 12 thường có các phần như sau:
Gợi mở, kết nối người học vào chủ đề bài học.
Hoạt động khởi động

Gợi ý để người học tìm ra kiến thức mới.
Hoạt động khám phá

Nội dung kiến thức cần lĩnh hội.
Kiến thức trọng tâm

Các bài tập cơ bản theo yêu cầu cần đạt.
Thực hành

Ứng dụng kiến thức để giải quyết vấn đề.
Vận dụng

Hãy bảo quản, giữ gìn sách giáo khoa để dành tặng các em học sinh lớp sau!

2

Lời nói đầu
Các bạn học sinh, quý thầy, cô giáo thân mến!
Sách Toán 12 thuộc bộ sách giáo khoa Chân trời sáng tạo được biên soạn theo Chương trình
giáo dục phổ thông 2018 của Bộ Giáo dục và Đào tạo.
Cấu trúc sách Toán 12 được chia thành hai tập.
Tập một bao gồm ba chương:
Chương I: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số.
Chương II: Vectơ và hệ toạ độ trong không gian.
Chương III: Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm.
Đầu mỗi chương đều có nêu rõ các kiến thức cơ bản sẽ học và các yêu cầu cần đạt của chương.
Các bài học đều xây dựng theo tinh thần định hướng phát triển năng lực và thường được
thống nhất theo các bước: khởi động, khám phá, thực hành, vận dụng. Sách sẽ tạo nên
một môi trường học tập và giảng dạy tương tác tích cực nhằm đảm bảo tính dễ dạy, dễ học
đồng thời hỗ trợ các phương pháp giảng dạy hiệu quả.
Nội dung sách thể hiện tính tích hợp, gắn bó môn Toán với các môn học khác. Những hoạt động
trải nghiệm được tăng cường giúp người học có thêm cơ hội vận dụng Toán học vào thực tiễn,
đồng thời ứng dụng công nghệ thông tin vào việc học Toán.
Chúng tôi tin tưởng rằng với cách biên soạn này, sách giáo khoa Toán 12 sẽ hỗ trợ quý thầy,
cô giáo một cách tích cực và hiệu quả trong quá trình dạy học, đồng thời giúp các bạn học
sinh hứng thú hơn khi học tập bộ môn Toán.
Rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy, cô giáo và các bạn học sinh để sách được ngày
càng hoàn thiện hơn.
CÁC TÁC GIẢ

3

Mục lục
Trang

PHẦN MỘT SỐ YẾU TỐ GIẢI TÍCH


Chương I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ

5



Bài 1. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

6



Bài 2. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

14



Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

19



Bài 4. Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản

25



Bài tập cuối chương I 37

Phần HÌNH HỌC VÀ ĐO LƯỜNG


Chương II. VECTƠ VÀ HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

40



Bài 1. Vectơ và các phép toán trong không gian

41



Bài 2. Toạ độ của vectơ trong không gian

52



Bài 3. Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

58



Bài tập cuối chương II

65


PHẦN THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT


Chương III. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO MỨC ĐỘ PHÂN TÁN CHO MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM

67



Bài 1. Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

68



Bài 2. Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

75



Bài tập cuối chương III

84

HOẠT ĐỘNG THỰC HÀNH VÀ TRẢI NGHIỆM


Bài 1. Vẽ đồ thị hàm số bằng phần mềm Geogebra

87



Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng máy tính cầm tay

91



Bảng giải thích thuật ngữ

94



Bảng tra cứu từ ngữ

95

4

Phần MỘT SỐ YẾU TỐ GIẢI TÍCH
Chương I

Ứng dụng đạo hàm
để khảo sát hàm số

Đạo hàm là một công cụ toán học có rất nhiều ứng dụng trong khoa học, kĩ thuật và đời sống. Trong chương này,
chúng ta sẽ ứng dụng đạo hàm để khảo sát một số tính chất quan trọng của hàm số (như tính đơn điệu, cực trị,
giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất) và tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số, từ đó vẽ đồ thị của hàm số
hoặc giải quyết một số bài toán thực tiễn.

Số lượng thành phẩm cần sản xuất là bao nhiêu để thu được lợi nhuận cao nhất?

Học xong chương này, bạn có thể:
− Nhận biết được tính đồng biến, nghịch biến của một hàm số trên một khoảng dựa vào
dấu của đạo hàm cấp một của nó.
− Thể hiện được tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trong bảng biến thiên.
− Nhận biết được tính đơn điệu, điểm cực trị, giá trị cực trị của hàm số thông qua bảng
biến thiên hoặc thông qua hình ảnh hình học của đồ thị hàm số.
− Nhận biết được giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập xác định cho trước.
− Xác định được giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng đạo hàm trong những
trường hợp đơn giản.
− Khảo sát được tập xác định, chiều biến thiên, cực trị, tiệm cận, bảng biến thiên và vẽ đồ thị

ax 2 + bx + c
ax + b
(c ≠ 0, ad − bc ≠ 0); y =
của các hàm số: y = ax + bx + cx + d (a ≠ 0); y =
mx + n
cx + d
3

2

(a ≠ 0, m ≠ 0 và đa thức tử không chia hết cho đa thức mẫu).
− Nhận biết được tính đối xứng (trục đối xứng, tâm đối xứng) của đồ thị các hàm số trên.
− Vận dụng đạo hàm và khảo sát hàm số để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn.

5

Bài 1.



Tính đơn điệu và cực trị
của hàm số
Từ khoá: Đồng biến; Nghịch biến; Cực trị; Cực đại; Cực tiểu.
h
Trong 8 phút đầu kể từ khi xuất phát,
480
độ cao h (tính bằng mét) của khinh khí cầu
405
324
vào thời điểm t phút được cho bởi công
3
2
thức h(t) = 6t − 81t + 324t. Đồ thị của
hàm số h(t) được biểu diễn trong hình bên.
O
3
6
8
t
Trong các khoảng thời gian nào khinh khí
cầu tăng dần độ cao, giảm dần độ cao?
Độ cao của khinh khí cầu vào các thời điểm 3 phút và 6 phút sau khi xuất phát có gì
đặc biệt?

1. Tính đơn điệu của hàm số
Nhắc lại về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số
Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y = f (x) xác định trên K.
Hàm số y = f (x) gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi x 1, x 2 thuộc K mà x 1 < x 2
thì f (x1) < f (x2).
Hàm số y = f (x) gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi x1, x2 thuộc K mà x1 < x2
thì f (x1) > f (x2).
Nếu hàm số y = f (x) đồng biến trên K thì đồ thị của nó đi lên từ trái sang phải (Hình 1a).
Nếu hàm số y = f (x) nghịch biến trên K thì đồ thị của nó đi xuống từ trái sang phải (Hình 1b).
y

y
y = f (x)

y = f (x)

O

K

a)

O

x

Hình 1

K

x

b)

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K.
6

Ví dụ 1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = f (x) có đồ thị cho ở Hình 2.
y

–2

O

1

5

8

x

Hình 2

Giải
Hàm số đồng biến trên các khoảng (−2; 1) và (5; 8), nghịch biến trên khoảng (1; 5).
1

Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = f (x) có đồ thị cho ở Hình 3.
y

–3

–2

–1

O

1

x

Hình 3

Tính đơn điệu của hàm số
1

Cho hàm số y = f (x) = x2.
a) Từ đồ thị của hàm số y = f (x) (Hình 4), hãy chỉ ra các
khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số đã cho.
b) Tính đạo hàm f '(x) và xét dấu f '(x).
c) Từ đó, nhận xét về mối liên hệ giữa các khoảng đồng biến,
nghịch biến của hàm số với dấu của f '(x).

y
9

4

1
–3 –2 –1 O

1 2 3 x

Hình 4

Trong 1 , ta thấy hàm số y = f (x) đồng biến trên khoảng mà f '(x) dương, nghịch biến trên
khoảng mà f '(x) âm.
7

Tổng quát, ta có kết quả sau đây:
Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên K.
Nếu f '(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số y = f (x) đồng biến trên K.
Nếu f '(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số y = f (x) nghịch biến trên K.
x
nghịch biến trên khoảng (1; +∞).
x −1
Giải

Ví dụ 2. Chứng minh rằng hàm số g (x) =
Hàm số xác định trên (1; +∞).
Ta có g '( x)  

1
 0 với mọi x ∈ (1; +∞).
( x  1) 2

Vậy g (x) nghịch biến trên khoảng (1; +∞).
Chú ý: Khi xét tính đơn điệu của hàm số mà chưa cho khoảng K, ta hiểu xét tính đơn điệu
của hàm số đó trên tập xác định của nó.
Từ kết quả trên, để xét tính đơn điệu của hàm số y = f (x), ta thực hiện các bước sau:
Bước 1. Tìm tập xác định D của hàm số.
Bước 2. Tính đạo hàm f '(x) của hàm số. Tìm các điểm x1; x2; ...; xn thuộc D mà tại đó đạo hàm
f '(x) bằng 0 hoặc không tồn tại.
Bước 3. Sắp xếp các điểm x1; x2; ...; xn theo thứ tự tăng dần, xét dấu f '(x) và lập bảng biến thiên.
Bước 4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Ví dụ 3. Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:
a) f (x) = −x3 + 3x2;

b) g (x) = x +
Giải

1
;
x

c) h (x) = x3.

a) Xét hàm số f (x) = −x + 3x .
3

2

Tập xác định: D = .
Ta có f '(x) = −3x2 + 6x; f '(x) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.
Bảng biến thiên:
x
f '(x)
f (x)

0

−∞

0

−
+∞

2
+

0

+∞
−

4
0

−∞

Vậy hàm số f (x) = −x + 3x đồng biến trên khoảng (0; 2), nghịch biến trên các khoảng
(−∞; 0) và (2; +∞).
3

8

2

1
.
x
Tập xác định: D =  \ {0}.

b) Xét hàm số g (x) = x +

Ta có g'(x) = 1 −

1 x2 1
 2 .
x2
x

Vì x2 > 0 với mọi x ∈  \ {0} nên g'(x) cùng dấu với x2 – 1.
Ta có g'(x) = 0 ⇔ x2 – 1 = 0 ⇔ x = −1 hoặc x = 1.
Bảng biến thiên:
−∞
x
g'(x)
g(x)

0

−1
0
−2

+

−

1
0

−
+∞

−∞

+∞
+
+∞

2

−∞

1
đồng biến trên các khoảng (−∞; −1) và (1; +∞), nghịch biến
x
trên các khoảng (−1; 0) và (0; 1).
Vậy hàm số g (x) = x +

c) Xét hàm số h (x) = x3.
Tập xác định: D = .
Ta có h'(x) = 3x2; h'(x) = 0 ⇔ x = 0.
Bảng biến thiên:
−∞
x
h'(x)
h(x)

+

0
0

+∞
+
+∞

0
−∞
Vậy hàm số h (x) = x3 đồng biến trên .
Chú ý:
a) Nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm trên K, f '(x) ≥ 0 với mọi x ∈ K và f '(x) = 0 chỉ tại
một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên K.
b) Nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm trên K, f '(x) ≤ 0 với mọi x ∈ K và f '(x) = 0 chỉ tại
một số hữu hạn điểm thì hàm số nghịch biến trên K.
2

Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:

3

Chứng minh rằng hàm số f (x) = 3x − sin x đồng biến trên .

1

Hãy trả lời câu hỏi trong
(trang 6) bằng cách xét dấu đạo hàm của hàm số
3
2
h(t) = 6t − 81t + 324t với 0 ≤ t ≤ 8.

a) f (x) = x3 – 6x2 + 9x;

b) g (x) =

1
.
x

9

2. Cực trị của hàm số
Khái niệm cực trị của hàm số
Quan sát đồ thị của hàm số y = f (x) = x3 – 3x2 + 1 trong Hình 5.
2
a) Tìm khoảng (a; b) chứa điểm x = 0 mà trên đó f (x) < f (0)
với mọi x ≠ 0.
b) Tìm khoảng (a; b) chứa điểm x = 2 mà trên đó f (x) > f (2)
với mọi x ≠ 2.
c) Tồn tại hay không khoảng (a; b) chứa điểm x = 1 mà trên đó
f (x) > f (1) với mọi x ≠ 1 hoặc f (x) < f (1) với mọi x ≠ 1?
Cho hàm số y = f (x) xác định trên tập hợp D và
x0 ∈ D.
• Nếu tồn tại một khoảng (a; b) chứa điểm x 0
và (a; b) ⊂ D sao cho f (x) < f (x 0 ) với mọi
x ∈ (a; b) \ {x0} thì x0 được gọi là một điểm
cực đại, f (x0) được gọi là giá trị cực đại của
hàm số y = f (x), kí hiệu ycđ.
• Nếu tồn tại một khoảng (a; b) chứa điểm x0
và (a; b) ⊂ D sao cho f (x) > f (x0) với mọi
x ∈ (a; b) \ {x0}, thì x0 được gọi là một điểm
cực tiểu, f (x0) được gọi là giá trị cực tiểu của
hàm số y = f (x), kí hiệu yct.

y
1
–1 O
–1

2 3 x

1

–3
Hình 5

y

y = f (x)

Giá trị
cực đại
Giá trị
cực tiểu

x1

x2

Điểm cực đại

x3

x4

x

Điểm cực tiểu

Hình 6

Chú ý:
a) Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số. Giá trị
cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (còn gọi là cực trị) của hàm số.
b) Nếu x0 là một điểm cực trị (điểm cực đại, điểm cực tiểu) của hàm số y = f (x) thì ta
cũng nói hàm số y = f (x) đạt cực trị (cực đại, cực tiểu) tại x0.
c) Hàm số có thể đạt cực đại và cực tiểu tại nhiều điểm trên D.
d) Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số y = f (x) thì điểm M(x0; f (x0)) là một điểm cực trị
của đồ thị hàm số y = f (x).
Ví dụ 4. Tìm cực trị của hàm số y = f (x) có
đồ thị được cho ở Hình 7.
Giải

10

Hàm số y = f (x) có:
• x = 1 là điểm cực đại vì f (x) < f (1) với mọi
x ∈ (0; 2) \ {1}, ycđ = f (1) = 5;
• x = 6 là điểm cực đại vì f (x) < f (6) với mọi
x ∈ (5; 7) \ {6}, ycđ = f (6) = 6;
• x = 4 là điểm cực tiểu vì f (x) > f (4) với mọi
x ∈ (3; 5) \ {4}, ycT = f (4) = 1.

y
6
5
4
2
1
–1 O

1 2 3 4 5 6 7
Hình 7

x

Tìm các điểm cực trị của hàm số y = f (x)
4
có đồ thị cho ở Hình 8.

y
5

2
1
O

1

3

5

7

9

x

Hình 8

Tìm cực trị của hàm số

 x2
khi x  1
Đồ thị của hàm số y = 
được cho ở Hình 9.
3
x
khi
x
2


1

a) Tìm điểm cực đại và điểm cực tiểu của hàm số.

y

b) Tại x = 1, hàm số có đạo hàm không?
c) Thay mỗi dấu ? bằng kí hiệu (+, –) thích hợp để hoàn thành
bảng biến thiên dưới đây. Nhận xét về dấu của y' khi x đi
qua điểm cực đại và điểm cực tiểu.
−∞
0
1
+∞
x
?
0
?
||
?
y'
+∞
1
y
0

O

1

x

Hình 9

−∞

Cho hàm số y = f (x) liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên
các khoảng (a; x0) và (x0; b). Khi đó:
• Nếu f '(x) < 0 với mọi x ∈ (a; x0) và f '(x) > 0 với mọi x ∈ (x0; b) thì hàm số y = f (x)
đạt cực tiểu tại điểm x0;
• Nếu f '(x) > 0 với mọi x ∈ (a; x0) và f '(x) < 0 với mọi x ∈ (x0; b) thì hàm số y = f (x)
đạt cực đại tại điểm x0.
Ví dụ 5. Tìm cực trị của hàm số f (x) = 2x3 – 9x2 – 24x + 1.
Tập xác định: D = .
Ta có f '(x) = 6x2 – 18x – 24;
f '(x) = 0 ⇔ x = −1 hoặc x = 4.

Giải

Bảng biến thiên:
−∞
x
f '(x)
f (x)

+

−1
0
14

−

4
0

+∞
+
+∞

−∞
−111
Vậy hàm số đạt cực đại tại x = −1, y cđ = f (−1) = 14; hàm số đạt cực tiểu tại x = 4,
y cT = f (4) = −111.
11

Nhận xét: Từ kết quả trên, để tìm cực trị của hàm số y = f (x), ta thực hiện các bước sau:
Bước 1. Tìm tập xác định D của hàm số.
Bước 2. Tính đạo hàm f '(x) của hàm số. Tìm các điểm x1; x2; …; xn thuộc D mà tại đó
đạo hàm f '(x) bằng 0 hoặc đạo hàm không tồn tại.
Bước 3. Xét dấu f '(x). Nếu f '(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x qua điểm xi (i = 1, 2, …)
thì hàm số đạt cực tiểu tại xi. Nếu f '(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x qua điểm xi (i = 1, 2, …)
thì hàm số đạt cực đại tại xi.
Ví dụ 6. Tìm cực trị của hàm số f (x) = x3 – 3x2 + 3x – 4.
Giải
Tập xác định: D = .
Ta có f '(x) = 3x2 – 6x + 3;
f '(x) = 0 ⇔ x = 1.
Bảng biến thiên:
x

1

−∞

f '(x)

+

+∞

0

+
+∞

f (x)
−∞
Vậy hàm số không có cực trị.
Chú ý:

a) Nếu f '(x) = 0 nhưng không đổi dấu khi x qua điểm xi (i = 1, 2, …) thì hàm số không có
cực trị tại xi.
b) Nếu f '(x) không đổi dấu trên khoảng K thì f (x) không có cực trị trên khoảng đó.
x2 + x + 4
.
5
x +1
Một phần lát cắt của dãy núi có độ cao tính bằng mét được mô tả bởi hàm số
2
1
9
81
x3 
x 2  x  840 với 0 ≤ x ≤ 2 000.
y = h(x) = 
1320 000
3520
44
Tìm toạ độ các đỉnh của lát cắt dãy núi trên đoạn [0; 2 000].
Tìm cực trị của hàm số g(x) =

y

2 000
1 500

y = h(x)

1 000
500
O

2 000

x

Hình 10

12

(Theo: Tập bản đồ bài tập và bài thực hành Địa lí 8, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2011)

BÀI TẬP
1. Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của các hàm số có đồ thị cho ở Hình 11.
y

y

3

4
3

2

O

–1

2

4

5 x

–3

–1

1

–1 O
–1

3

x

–2

a)

b)
Hình 11

2. Xét tính đơn điệu và tìm điểm cực trị của các hàm số sau:
x2 − 2 x − 7
b) y =
a) y = 4x3 + 3x2 – 36x + 6;
.
x−4
3. Tìm cực trị của các hàm số sau:
x 2  8 x  10
c) y =  x 2  4.
a) y = 2x + 3x – 36x + 1;
b) y =
;
x2
2x 1
4. Chứng minh rằng hàm số y =
nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.
x 3
5. Kim ngạch xuất khẩu rau quả của Việt Nam trong các năm từ 2010 đến 2017 có thể được tính
xấp xỉ bằng công thức f (x) = 0,01x3 – 0,04x2 + 0,25x + 0,44 (tỉ USD) với x là số năm tính
từ 2010 đến 2017 (0 ≤ x ≤ 7).
(Theo: https://infographics.vn/interactive-xuat-khau-rau-quadu-bao-bung-no-dat-4-ty-usd-trong-nam-2023/116220.vna)
a) Tính đạo hàm của hàm số y = f (x).
3

2

b) Chứng minh rằng kim ngạch xuất khẩu rau quả của Việt Nam tăng liên tục trong các năm
từ 2010 đến 2017.
6. Xét một chất điểm chuyển động dọc theo trục Ox. Toạ độ của chất điểm tại thời điểm t
được xác định bởi hàm số x(t) = t3 – 6t2 + 9t với t ≥ 0. Khi đó x'(t) là vận tốc của chất điểm tại
thời điểm t, kí hiệu v(t); v'(t) là gia tốc chuyển động của chất điểm tại thời điểm t, kí hiệu a(t).
y

a) Tìm các hàm v(t) và a(t).
b) Trong khoảng thời gian nào vận tốc của chất điểm tăng,
trong khoảng thời gian nào vận tốc của chất điểm giảm?
7. Đạo hàm f '(x) của hàm số y = f (x) có đồ thị như Hình 12.
Xét tính đơn điệu và tìm điểm cực trị của hàm số y = f (x).

y = f '(x)

–2

–1 O

2

4 5 x

Hình 12

13

Bài 2.



Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
của hàm số
Từ khoá: Giá trị lớn nhất của hàm số; Giá trị nhỏ nhất của hàm số.
y
5

Sự phân huỷ của rác thải hữu cơ
có trong nước sẽ làm tiêu hao
oxygen hoà tan trong nước.
Nồng độ oxygen (mg/l) trong một
hồ nước sau t giờ (t ≥ 0) khi một
lượng rác thải hữu cơ bị xả vào hồ
được xấp xỉ bởi hàm số (có đồ thị
như đường màu đỏ ở hình bên)

O

2

1

t

3

15t
.
9t 2 + 1
Vào các thời điểm nào nồng độ oxygen trong nước cao nhất và thấp nhất?
(Theo: https://www.researchgate.net/publication/264903978_Microrespirometric_

y(t) = 5 –

characterization _of_activated_sludge_inhibition_by_copper_and_zinc)

1. Định nghĩa
1

Hình 1 cho biết sự thay đổi của nhiệt độ ở một thành phố trong một ngày.
a) Khẳng định nào sau đây đúng? Vì sao?
i) Nhiệt độ cao nhất trong ngày là 28 oC.
ii) Nhiệt độ cao nhất trong ngày là 40 oC.

t (oC)
25

20

O

4

34

31

28

8

12 16
Hình 1

27

24

iii) Nhiệt độ cao nhất trong ngày là 34 oC.
b) Hãy xác định thời điểm có nhiệt độ cao nhất
trong ngày.
c) Nhiệt độ thấp nhất trong ngày là bao nhiêu?

20

24

x (giờ)

Cho hàm số y = f (x) xác định trên tập hợp D.
Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f (x) trên D nếu f (x) ≤ M
với mọi x thuộc D và tồn tại x0 thuộc D sao cho f (x0) = M. Kí hiệu M = max f (x).
D

Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (x) trên D nếu f (x) ≥ m
với mọi x thuộc D và tồn tại x0 thuộc D sao cho f (x0) = m. Kí hiệu m = min f (x).
D

14

Chú ý: Ta quy ước khi chỉ nói giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (x)
(mà không cho rõ tập hợp D) thì ta hiểu đó là giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của
hàm số y = f (x) trên tập xác định của nó.
Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) y = f (x) = 2x + 3 trên đoạn [−3; 1];

b) y = g(x) = 1 − x 2 .

Giải
a) Xét hàm số f (x) = 2x + 3 trên đoạn [−3; 1].
Với mọi x ∈ [−3; 1], ta có f (x) = 2x + 3 ≥ −3. Mặt khác f (−3) = −3. Do đó min f (x) = −3.
[−3; 1]

Với mọi x ∈ [−3; 1], ta có f (x) = 2x + 3 ≤ 5. Mặt khác f (1) = 5. Do đó max f (x) = 5.
[−3; 1]

b) Xét hàm số g(x) = 1 − x .
2

Tập xác định: D = [−1; 1].
Ta có 0 ≤ g(x) ≤ 1 với mọi x ∈ [−1; 1]. Mặt khác g(0) = 1 và g(1) = 0.
Do đó min g(x) = 0 và max g(x) = 1.
[ −1; 1]

[ −1; 1]

Nhận xét: Nếu biết đồ thị của hàm số trên tập hợp D, ta có thể xác định được giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên D. Chẳng hạn:
 Dựa vào đồ thị hàm số f (x) = 2x + 3 trên đoạn [−3; 1] (Hình 2a), ta thấy với mọi
x ∈ [−3; 1], f (x) ≥ f (−3) và f (x) ≤ f (1) nên min f (x) = f (–3) = –3 và max f (x) = f (1) = 5.
[ −3; 1]

[ −3; 1]

 Dựa vào đồ thị của hàm số g(x) = 1 − x 2 trên đoạn [−1; 1] (Hình 2b), ta thấy với mọi
x ∈ [−1; 1], g (x) ≥ g (1) và g(x) ≤ g(0) nên min g(x) = g(1) = 0 và max g(x) = g(0) = 1.
[ −1; 1]

y
5

y
3

y = 2x + 3
–3
−

[ −1; 1]

1

1

3O
2

–1

x

O

y=

1

1 − x2

x

–3

a)

Hình 2

b)

Chú ý: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số thường được tìm bằng cách sử dụng
đạo hàm và bảng biến thiên.
Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) = x3 – 6x2 + 9x – 1 trên
nửa khoảng [–1; +∞).
15

Giải
Ta có: f '(x) = 3x2 – 12x + 9;


f '(x) = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = 3.

Bảng biến thiên của hàm số trên nửa khoảng [–1; +∞):
x

1

−1
+

f '(x)
f (x)

3

0
3

+∞

0

−

+
+∞

−17

−1

Từ bảng biến thiên, ta thấy min f (x) = f (–1) = −17 và hàm số không có giá trị lớn nhất
[ 1; + )
trên [−1; +∞).
1

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a) f (x) = 2x3 – 9x2 + 12x + 1 trên đoạn [0; 3];

b) g(x) = x +

c) h (x) = x 2 − x 2 .
Sử dụng đạo hàm và lập bảng biến thiên, trả lời câu hỏi trong

1
trên khoảng (0; 5);
x
(trang 14).

2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn
2

Hình 3 cho ta đồ thị của ba hàm số
1 2
neáu x  2
1 2
 x
1
f (x) = x ; g(x)   2
và h(x) = 3 – x2 trên đoạn [−1; 3].
2
2
4 x  10 neáu x  2
a) Hàm số nào đạt giá trị lớn nhất tại một điểm cực đại của nó?

b) Các hàm số còn lại đạt giá trị lớn nhất tại điểm nào?
y
9
2

y
y = f (x)

2
1

1 1
2
–1 O

a)

–1 O
3 x

y
3

1
2

1

–1
–2

5
2 2

y = g(x)

b)

2

3

y = h(x)

1
x

–1 O

–1

1

2

3

x

−3
2 –2

c)

Hình 3

Trong 2 , các hàm số đạt giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất trên đoạn [–1; 3] tại điểm
đầu mút của đoạn hoặc tại điểm cực trị trong khoảng (–1; 3).
16

Một cách tổng quát, cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm trên (a; b)
(có thể trừ một số hữu hạn các điểm) và f '(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn các điểm trong (a; b),
ta có thể tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f (x) trên đoạn [a; b] theo các bước
như sau:
Bước 1. Tìm các điểm x1; x2; ...; xn thuộc khoảng (a; b) mà tại đó f '(x) bằng 0 hoặc
không tồn tại.
Bước 2. Tính f (a); f (x1); f (x2); ...; f (xn); f (b).
Bước 3. Gọi M là số lớn nhất và m là số nhỏ nhất trong các giá trị tìm được ở Bước 2.
Khi đó:


M = max f (x), m = min f (x).
[a ; b ]

[a ; b ]

Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) = x4 − 8x2 + 9 trên đoạn [−1; 3].
Giải
Ta có: f '(x) = 4x3 − 16x;
f '(x) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2 hoặc x = −2 (loại vì không thuộc [−1; 3]);
f (−1) = 2; f (0) = 9; f (2) = −7; f (3) = 18.
Vậy max f (x) = f (3) = 18 và min f (x) = f (2) = −7.
[ −1; 3]

[ −1; 3]

Ví dụ 4. Từ một tấm bìa hình chữ nhật có chiều rộng 30 cm và chiều dài 80 cm (Hình 4a),
người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông có cạnh x (cm) với 5 ≤ x ≤ 10 và gấp lại để tạo thành
chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật không nắp như Hình 4b. Tìm x để thể tích chiếc hộp
là lớn nhất (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
x

x

x

x

x

x

30 cm
x

x

80 cm

a)

b)
Hình 4

Giải
Thể tích chiếc hộp là: V(x) = x(30 – 2x)(80 – 2x) = 2 400x – 220x2 + 4x3 với 5 ≤ x ≤ 10.
Ta có: V '(x) = 12x2 – 440x + 2 400;
20
hoặc x = 30 (loại vì không thuộc [5; 10]);
3
 20  200 000
; V(10) = 6 000.
V(5) = 7 000; V   
27
 3 

V '(x) = 0 ⇔ x =

17

Do đó max V ( x) 
5;10

200 000
20
khi x = .
27
3

20
cm.
3
4
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số g(x) = x + 2 trên đoạn [1; 4].
2
x

Vậy để thể tích chiếc hộp là lớn nhất thì x =

3

Tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5 cm có thể có diện tích lớn nhất bằng bao nhiêu?

BÀI TẬP
1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số có đồ thị được cho ở Hình 5.
y
7

y
6
5

y = g(x)

5

y = f (x)

4
3

3
2
1
O

1
–3 –2 –1 O

1 2 3 4 5 6 x

a)

Hình 5

1 2 3

x

b)

2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) y = x3 − 12x +1 trên đoạn [−1; 3];
2x 1
trên đoạn [3; 7];
x2
3. Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
c) y =

b) y = −x3 + 24x2 − 180x + 400 trên đoạn [3; 11];
 7 
d) y = sin 2x trên đoạn 0;
.
 12 

3x 2 − 4 x
trên khoảng (−1; +∞).
a) y = x – 3x − 4 trên nửa khoảng [−3; 2); b) y =
x2 −1
3

4. Khi làm nhà kho, bác An muốn cửa sổ có dạng hình chữ nhật với
chu vi bằng 4 m (Hình 6). Tìm kích thước khung cửa sổ sao cho
diện tích cửa sổ lớn nhất (để hứng được nhiều ánh sáng nhất)?
5. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2 1 − x 2 + x 2 .

Hình 6

6. Khối lượng q (kg) của một mặt hàng mà cửa tiệm bán được trong một ngày phụ thuộc vào
1
giá bán p (nghìn đồng/kg) theo công thức p= 15 − q. Doanh thu từ việc bán mặt hàng
2
trên của cửa tiệm được tính theo công thức R = pq.
a) Viết công thức biểu diễn R theo p.
b) Tìm giá bán mỗi kilôgam sản phẩm để đạt được doanh thu cao nhất và xác định
doanh thu cao nhất đó.
7. Hộp sữa 1 l được thiết kế dạng hình hộp chữ nhật với đáy là hình vuông cạnh x cm. Tìm x để
diện tích toàn phần của hộp nhỏ nhất.
18

Bài 3.



Đường tiệm cận của đồ thị
hàm số
Từ khoá: Tiệm cận đứng; Tiệm cận ngang; Tiệm cận xiên.

Theo thuyết tương đối hẹp, khối lượng m (kg)
của một hạt phụ thuộc vào tốc độ di chuyển
v (km/s) của nó trong hệ quy chiếu quán tính
theo công thức m(v ) 

m0
v2
1 2
c

m

, trong đó m0
m0

là khối lượng nghỉ của hạt, c = 300 000 km/s là
c
O
v
tốc độ ánh sáng. Khi hạt di chuyển với tốc độ
càng gần tốc độ ánh sáng thì khối lượng của
hạt thay đổi thế nào? Điều này thể hiện trên
đồ thị hàm số m(v) ở hình bên như thế nào?
(Theo: https://www.britannica.com/science/relativistic-mass)
y

1. Đường tiệm cận đứng
1

1
có đồ thị như Hình 1.
x −1
1
1
a) Tìm lim+
, lim−
.
x →1 x − 1 x →1 x − 1
b) Gọi M là điểm trên đồ thị có hoành độ x.
Đường thẳng đi qua M và vuông góc với trục Oy
cắt đường thẳng x = 1 tại điểm N. Tính MN theo x
và nhận xét về MN khi x → 1+ và x → 1−.

Cho hàm số y =

N
O

1

M
x

x

Hình 1

Đường thẳng x = a được gọi là một đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của
đồ thị hàm số y = f (x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau thoả mãn:
lim f ( x)  , lim f ( x)  , lim f ( x)  , lim f ( x)  .

xa

xa

xa

xa

19

Đường thẳng x = a là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f (x) được minh hoạ như Hình 2.
y

y

x=a

y = f (x)
O

a

O

x

y

y = f (x)
a

y = f (x)
O

x

y

x=a
a

x

O

b) lim+ f ( x) = +∞

c) lim− f ( x) = −∞

x→a

x→a

a

x
y = f (x)

x=a

a) lim− f ( x) = +∞

x=a

x→a

d) lim+ f ( x) = −∞
x→a

Hình 2

Ví dụ 1. Tìm tiệm cận đứng của đồ thị các hàm số sau:
a) y =

x
;
x −1

b) y =

2

2
.
x −1
Giải

x
x
= −∞; lim 2
= +∞. Suy ra
x 1 x  1
x 1 x  1
đường thẳng x = –1 là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
x
x
= −∞; lim 2
= +∞. Suy ra đường thẳng x = 1 là một tiệm cận đứng
Ta có lim 2
x 1 x  1
x 1 x  1
của đồ thị hàm số.
2
b) Tập xác định: D = (1; +∞). Vì lim
= +∞ nên đường thẳng x = 1 là một tiệm cận
x 1
x 1
đứng của đồ thị hàm số.

a) Tập xác định: D = ℝ\{–1; 1}. Ta có lim

2

Chú ý:
Đồ thị hàm số y =
hiện trong Hình 3a.
Đồ thị hàm số y =

x
cùng với hai tiệm cận đứng x = 1 và x = −1 của nó được thể
x −1
2

2
cùng với tiệm cận đứng x = 1 của nó được thể hiện trong Hình 3b.
x −1
y

y
x = –1
–1 O

1

x
O

x=1

1
x=1

b)

a)
Hình 3

1

20

x

Tìm tiệm cận đứng của đồ thị các hàm số sau:
2x  3
x2 − 2 x
a) f (x) =
b) g(x) =
;
.
x  5
x −1

2. Đường tiệm cận ngang
y

x +1
có đồ thị như Hình 4.
x
x +1
x +1
a) Tìm lim
, lim
.
x →+∞
x x →−∞ x
b) Đường thẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x cắt
đồ thị hàm số tại điểm M và cắt đường thẳng y = 1
tại điểm N (Hình 4). Tính MN theo x và nhận xét
về MN khi x → +∞ hoặc x → −∞.

Cho hàm số y =

2

1
–1

M
N
O x

x

Hình 4

Đường thẳng y = m được gọi là một đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của
đồ thị hàm số y = f (x) nếu lim f (x) = m hoặc lim f (x) = m.
x

x

Đường thẳng y = m là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f (x) được minh hoạ như Hình 5.
y
y=m

y
y = f (x)

y = f (x)
m
O

m
x

y=m

O

a) lim f (x) = m

x

b) lim f (x) = m

x

x

Hình 5

Ví dụ 2. Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =
Giải

2 x  1
.
x 1

Tập xác định: D = ℝ\{–1}.
1
1
2 
2 
2 x  1

2
x

1
x  2 ; lim
x  2.
Ta có lim
 lim
 lim
x  x  1
x 
x  x  1
x 
1
1
1
1
x
x
Vậy đường thẳng y = –2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
2 x  1
cùng với
x 1
tiệm cận ngang y = –2 và tiệm cận đứng x = –1 của nó
được thể hiện trong Hình 6.
Chú ý: Đồ thị của hàm số y =

2

x = –1

y = –2

–1 O

x 1
; b) g(x) =
4x 1

x
–2

Tìm tiệm cận ngang của đồ thị các hàm số sau:
a) f (x) =

y

x
.
x +2
Hình 6

21

3. Đường tiệm cận xiên
y

x
M

y=

3

x2 + 1
và đường thẳng y = x.
x
Đường thẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x cắt đồ thị
hàm số tại điểm M và cắt đường thẳng y = x tại điểm N
(Hình 7).

Cho đồ thị của hàm số y =

N
x

O

x

 x 1 
 x 1 
a) Tính lim 
 x  và lim 
 x .
x 
x 
 x

 x

2

2

b) Tính MN theo x và nhận xét về MN khi x → +∞
hoặc x → −∞.

Hình 7

Đường thẳng y = ax + b, a ≠ 0, được gọi là đường tiệm cận xiên (hay tiệm cận xiên)
của đồ thị hàm số y = f (x) nếu lim [ f (x) − (ax + b)] = 0 hoặc lim [ f (x) − (ax + b)] = 0.
x

x

Đường thẳng y = ax + b là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f (x) được minh hoạ
như Hình 8.
y

y

y

x
=a

+b

y = f (x)
y=

y = f (x)
O

ax +

O

x

a) lim [ f (x) − (ax + b)] = 0

b

x

b) lim [ f (x) − (ax + b)] = 0

x

x

Hình 8

Ví dụ 3. Chứng minh rằng đường thẳng y = x − 2 là một tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
f (x) = x − 2 +

3
.
x +1

Giải

Tập xác định: D = ℝ\{–1}.
Ta có lim [ f ( x) − ( x − 2) ] = lim
x →−∞

x

3
3
= 0; lim  f ( x)  ( x  2)   lim
 0.
x 
x  x  1
x +1

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng y = x − 2.

22

3
cùng
x +1
tiệm cận đứng x = −1 và tiệm cận xiên y = x − 2
của nó được thể hiện trong Hình 9.
Chú ý: Đồ thị hàm số f (x) = x − 2 +

y
x = –1

Nhận xét:

–1 O

x 

2

x

–2

y=

x–

2

a) Trong trường hợp tổng quát, có thể tìm các hệ số
a, b trong phương trình của đường tiệm cận xiên
y = ax + b theo công thức như sau:
a = lim

1

f ( x)
, b = lim [ f (x) – ax]
x
x

Hình 9
f ( x)
, b = lim [ f (x) – ax].
x 
x
x
b) Khi a = 0 thì đồ thị của hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng y = b.

hoặc a = lim

x 2  3x  1
.
Ví dụ 4. Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số f (x) =
x2
Giải
Tập xác định: D = ℝ\{2}.
Ta có: a  lim

x 



x 2  3x  1
f ( x)
 lim
 1;
x  x 2  2 x
x

x 1
 x 2  3x  1 
b  lim [f ( x)  ax]  lim 
 lim
 1.

x

x 
x 
 x2
 x  x  2

Ta cũng có lim

x→– ∞

f ( x)
−1.
= 1 ; lim [ f ( x) − x] =
x→– ∞
x

y

y=

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng y = x – 1.
x 2  3x  1
cùng với
x2
tiệm cận đứng x = 2 và tiệm cận xiên y = x − 1
của nó được thể hiện trong Hình 10.
Chú ý: Đồ thị hàm số y =

O

là một tiệm cận xiên của đồ thị hàm số này.

1 2

1

x

x=2

Ví dụ 5. Trong Hình 11, đường viền bóng của đèn ngủ lên
1 2
tường là đồ thị của hàm số y = 55 −
x + 144 với x và y
2
tính bằng đơn vị centimét. Chứng minh rằng y = 55 −

–1

x–

Hình 10
y
49

1
x
2
O
Hình 11

x

23

Giải

Tập xác định: D = ℝ.

1 2
1 
1
 
x  144    55  x    lim  x  x 2  144
Ta có lim  55 
x  
x

2
2 
2
 


1
144
 0.


2
x  2
 x  x  144 

 lim


1 2
1 
 
0.
x + 144  −  55 − x   =
Tương tự ta cũng có lim  55 −
x→– ∞
2
2 
 

1 2
1
x  144 .
Do đó y  55  x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y  55 
2
2
2 x 2  3x
.
x5

3

Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y 

4

Nếu trong một ngày, một xưởng sản xuất được x kilôgam sản phẩm thì chi phí
trung bình (tính bằng nghìn đồng) cho một sản phẩm được cho bởi công thức:
50 x  2 000
.
x
Tìm các đường tiệm cận của hàm số C(x).


C ( x) 

BÀI TẬP
1. Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số sau:
4x − 5
2 x  7
5x
;
;
.
b) y =
c) y =
a) y =
2x − 3
4x  3
3x − 7
2. Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số sau:
x2  2
2 x 2  3x  6
2 x 2 + 9 x + 11
;
;
. ...